Appliquer les théorèmes relatifs aux milieux des deux côtés d'un triangle

Quand on s'intéresse aux deux théorèmes relatifs aux milieux des côtés d'un triangle, on considère non seulement les milieux de deux côtés d'un triangle, mais aussi la droite qui les relie.

Ces théorèmes permettent de démontrer que des points sont les milieux de segments ou que des droites sont parallèles entre elles.

1. La droite des milieux d'un triangle

1.1. Théorème 1

Dans un triangle ABC, la droite passant par les milieux B' de [AC] et C' de [AB] est parallèle au troisième côté [BC]. De plus, la longueur B'C' est égale à la moitié de la longueur BC.

Remarque : la droite (B'C') s'appelle la droite des milieux dans le triangle ABC.

1.2. Exemple

Énoncé : soit ABC un triangle. A' est le milieu du côté [BC], B' celui de [AC] et C' celui de [AB]. On veut démontrer que le quadrilatère AB'A'C' est un parallélogramme.

Démonstration : la droite (A'B') passe par les milieux de [BC] et de [AC]. Elle est donc parallèle à la droite (AB). Pour la même raison, (A'C') est parallèle à (AC). Le quadrilatère AB'A'C', qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux, est bien un parallélogramme.

2. Une application du théorème 1 : un problème d'alignement

Énoncé : ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD]. I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AD], [BC], [AC] et [BD]. On veut démontrer que les quatre points I, J, K et L sont alignés.

Démonstration : dans le triangle ABD, la droite (IL) est une droite des milieux, donc (IL) est parallèle à (AB). De même, dans le triangle BCD, la droite (LJ) est parallèle à (DC) et donc aussi à (AB). Les droites (IL) et (LJ) sont parallèles car chacune d'elles est parallèle à (AB) ; elles ont un point en commun : L. On en déduit qu'elles sont confondues. Cela prouve que les points I, L et J sont alignés.

En étudiant, de la même façon, les triangles ABC et ACD on peut aussi démontrer que les points K, I et J sont alignés. En conclusion, les points I, J, K et L appartiennent à la même droite (IJ) ; ils sont donc alignés.

3. La droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un côté

3.1. Théorème 2

Dans un triangle ABC, la droite passant par le milieu B' du côté [AC] et parallèle au côté [AB]

passe par le milieu C' du troisième côté [AC]. Bien sûr, on a encore : B'C' =   BC.

3.2. Exemple

Énoncé : dans la figure 5, AI =   AB et D est le symétrique de B par rapport à C. La parallèle à la droite (DI) passant par C coupe le segment [AB] en J. On veut démontrer que J est le milieu du segment [IB] et que AI = IJ = JB.

Démonstration : on remarque tout d'abord que IB =   AB, donc IB = 2AI et C est le milieu du segment [BD]. Considérons maintenant le triangle IDB. La droite (CJ) passe par le milieu du côté [BD] et est parallèle au côté [DI]. Le théorème 2 permet d'affirmer qu'elle coupe le troisième côté en son milieu. J est donc le milieu du segment [IB] et on a IJ = JB =   IB. Or comme IB = 2AI, on a bien : AI =   IB = IJ = JB.